Turunan Fungsi Aljabar - Konsep, Rumus, dan Aplikasi

 Materi turunan merupakan materi lanjutan dari limit dan berhubungan dengan kemiringan (gradien) garis lurus.

Turunan merupakan cabang dari ilmu kalkulus. Turunan didefinisikan sebagai suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan pada variabelnya. Turunan  disebut juga dengan diferensial. Proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Menarik, bukan? Yuk, kita bahas konsep dan cara penyelesaian dari turunan suatu fungsi.

Konsep Turunan

 Turunan dari suatu fungsi dapat didefinisikan:

Dengan syarat, f(x) memiliki nilai limit.

Turunan dapat dinotasikan dengan :

Penyelesaian turunan yang menggunakan definisi limit kurang efektif dalam menyelesaikan suatu fungsi berpangkat. Oleh karenanya, fungsi berpangkat dapat diselesaikan dengan turunan fungsi aljabar.

 

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar diperoleh dengan menggunakan rumus-rumus berikut ini.

1. Turunan Konstanta

Bilangan konstanta jika diturunkan, maka hasilnya adalah nol. Secara matematis dapat dituliskan:

2. Turunan Fungsi Eksponen (Bilangan Berpangkat)

Turunan dari fungsi eksponen terbagi menjadi beberapa bagian, diantaranya:

3. Penjumlahan dan Pengurangan Turunan Fungsi

Turunan dari dua fungsi yang saling dijumlahkan dan dikurangi dapat dirumuskan sebagai berikut:

4. Perkalian Turunan Fungsi

Perkalian turunan fungsi terbagi menjadi dua macam, yaitu perkalian fungsi dengan bilangan skalar dan perkalian dua fungsi.

Turunan dari perkalian fungsi dengan bilangan skalar dapat dirumuskan:

Berbeda dengan turunan penjumlahan dan pengurangan dua fungsi, turunan dari perkalian dua fungsi harus mencari turunan dari masing-masing fungsi yang kemudian disubstitusikan pada rumus:

5. Pembagian Turunan Fungsi

Hampir sama dengan perkalian, turunan dari pembagian dua fungsi harus menurunkan masing-masing fungsi. Kemudian, substitusikan pada rumus turunan pembagian sebagai berikut:

6. Turunan Fungsi Aturan Rantai

Aturan rantai pada turunan suatu fungsi merupakan turunan yang dilakukan berturut-turut pada suatu fungsi. Aturan rantai secara matematis dituliskan sebagai berikut:

Misalkan u adalah fungsi dalam x dan y, dimana u terdiferensialkan, sehingga:

Aplikasi Turunan

Setelah mempelajari tentang rumus-rumus turunan, Sobat Pintar juga perlu mempelajari mengenai penerapan turunan. Ternyata turunan juga bisa diterapkan dalam materi yang lain. Beberapa penerapan turunan fungsi, yaitu :

1. Gradien Persamaan Garis Singgung

Salah satu cara untuk membuat sebuah persamaan garis singgung adalah dengan menggunakan gradien atau kemiringan dari garis tersebut. Gradien suatu fungsi f(x) yang melalui titik A (a,f(a)) dapat ditentukan dengan menggunakan turunan dengan rumus: m = f’(a).

2. Kemonotonan Fungsi

Aplikasi turunan yang lainnya adalah menentukan kemonotonan suatu fungsi. Maksudnya, Sobat pintar dapat mengetahui suatu fungsi naik atau turun pada interval tertentu.

3. Titik Stasioner

Titik stasioner disebut juga titik kritis, titik ekstrim, atau titik balik. Titik stasioner merupakan sebuah titik pada kurva dengan gradien dari garis singgung kurva bernilai 0 (nol).

Jika fungsi f(x) kontinu dan terdiferensial, maka f(a) dikatakan NILAI STASIONER dari f(x) jika dan hanya jika f’(a)=0.

4. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi

Sebelum menentukan nilai maksimum dan minimum, Sobat Pintar harus tahu cara menentukan titik maksimum dan minimum terlebih dahulu.

Titik maksimum atau minimum suatu fungsi f(x) pada interval [a,b] dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:

1). Penuhi syarat nilai stasioner, yaitu f’(a) = 0 dan f’(b) = 0

2). Tentukan jenis stasionernya (titik maksimum, titik belok, atau titik minimum) dengan menggunakan turunan kedua fungsi tersebut, yaitu:

- Jika f’’(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f

- Jika f’’(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f

- Jika f’’(a) = 0 maka f(a) bukan nilai ekstrim fungsi f

3). Substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal, sehingga diperoleh nilai maksimum atau minimumnya.

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada setiap titik di interval [a,b] dapat terjadi pada:

- Titik stasioner yang berada pada interval [a,b]

- Titik ujung interval

Dalam menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut:

1). Menentukan titik stasioner pada fungsi f(x) yang berada pada interval [a,b]

2). Menentukan nilai fungsi pada ujung interval, yaitu f(a) dan f(b)

3). Membandingkan nilai fungsi pada langkah 1 dan 2. Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum, sedangkan nilai terkecil adalah nilai minimum